ЛЕКЦИЯ 2. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО ГЛАДКОЙ НЕПОДВИЖНОЙ ПОВЕРХНОСТИ.

 2.1. Движение точки по гладкой неподвижной поверхности.

2.2. Движение точки по гладкой неподвижной кривой.

2.1. Движение точки по гладкой неподвижной поверхности.

Для изучения движения материальной точки, по поверхности используем уравнение (3).

 В проекциях на оси координат Oxyz имеем

Эти уравнения служат в 6 неизвестных: 3 коэффициента (x,y,z) и три неизвестные проекции Rx, Ry, Rz реакции. Но, как мы видим координаты точки должны удовлетворять уравнению поверхности, по которой движется точка. Это дает четвертое уравнение

 f(x,y,z)=0 (2).

Четырех уравнений для решение шести неизвестных недостаточно. Для получения двух недостающих уравнений используем условия идеальности связи.

Так как поверхность, по которой движется точка, идеально гладкая, то реакция направлена по нормали к поверхности. Градиент

представляет собой вектор, который также направлен по нормали к поверхности. Условие коллинеарности и дает недостающие два уравнения:

Уравнения (1)-(3) в принципе дают возможность решить задачу о движении точки по гладкой неподвижной поверхности. Из уравнений (1) и (3) можно исключить реакции связи. Для этого обозначим равной отношение (3) через λ, т.е 

Тогда 

и уравнение (1) теперь примет вид

Присоединяя к этим уравнениям связи (12), получаем систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными x,y,z и λ. После отыскания этих неизвестных по формулам (14) можно определить проекции реакции. Модуль реакции равен

Уравнения (5) называется уравнением Лагранжа первого рода.

Движение точки по гладкой неподвижной кривой.

При движении материальной точки по поверхности уравнения связи имеет вид

где f1(x,y,z)=0 и f2(x,y,z)=0 - уравнения поверхностей, линия пересечения которых является траекторией. В этом случае в уравнении (3) реакцию следует рассматривать как сумму реакции, т.е

где R1 и R2  - реакции, заменяющие действия соответственно первой и второй связи, уравнения которые имеют вид (1). Поэтому дифференциальное уравнение движения запишутся в виде:

Эти уравнения содержат девять неизвестных: 3 координат и 6 – проекции реакции связи. Присоединяя к уравнениям (3) два уравнения связи и условия идеальности связей: 

Получим девять уравнений с девятью неизвестными. Из этих уравнений можно исключить проекции реакций. Для этого отношении (4) и (5) соотносительно обозначим через λ1  и λ2

Согласно уравнению (3) примут следующий вид

Система совместно с уравнением связи (1) образует систему (4) уравнений с пятью неизвестными: x,y,z, λ1  и λ2

R1 и R2 определяются формулами

Модули этих реакции равны: